無限大の極限

http://d.hatena.ne.jp/hyuki/20060407で紹介されている「テトラちゃんとハーモニックナンバー」を読んで考えたことです。

「５　無限大の過大評価」で、\large \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}が正の無限大に発散することを証明するのに\large S_{2^m}を使っていますが、\large S_{2^m}を使うと可付番無限と連続無限を一対一対応させることも出来てしまいます。

\large S_{2^m}を数式に展開して\large 2^m個の和を求める形にします。さらに\large \lim_{m\to\infty} S_{2^m}とすると\large \lim_{m\to\infty} 2^m個の和となります。
この極限で使う∞は数列の個数を表すものなので、数えられる無限つまり可付番無限と考えられます。可付番無限の冪乗を考えると無限の濃度があがり連続無限になります。
すると\large \lim_{m\to\infty} 2^mの数列の個数は連続無限になるのでしょうか。しかし数列に番号をふることはできるので、連続無限に番号をふれることになってしまいます。
連続無限に番号がふれたら可付番無限になってしまいます。連続無限には番号をふることができない、つまり可付番集合と一対一対応させることが出来ないことが証明されています。

ただ、極限の場合は無限大にどんどん近づいては行くものの、無限大になることは無いわけで、実無限というよりは可能無限に近い考え方なのかもしれません。