２つの三角定規

http://blog.mf-davinci.com/mori_log/archives/2008/10/post_2163.phpの「MORI LOG ACADEMY 三角定規」にこんなことが書かれていました。

　三角形の定規が2つセットになっている、あれである。1つは、45°の角度がある直角二等辺三角形で、もう1つは、30°と60°がある直角三角形だ。ご存知のように、前者では3辺の比は、1：1：√2であり、後者では、1：√3：2となっている。ピタゴラスの定理で確認してみよう。
　さて、この2つの三角形だが、前者の√2の辺と、後者の√3の辺が、同じ長さになっている。そういうふうに作るのが、三角定規の掟のようだ。手許にあったら、重ねてみよう。ということは、両者の6つの辺の比は、√3：√3：√6と、√2：√6：√8となる。

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三角定規の大きさについて図であらわせばこんな感じでしょうか。
ところで右の直角二等辺三角形の直角以外の角がどちらも45度であるのはほぼ自明ですが、辺の長さの比が1：√3：2の三角定規の２つの角が、30度と60度になることについてはどうでしょうか。

たとえば、右の図のように補助線を２本引くことで証明可能です。同じ記号が書かれている線は同じ長さです。

こんな説明の仕方もできます。同じ三角定規を２つ並べると正三角形になるのですが、こうしてみると角の大きさが30度と60度になるのも、ほぼ自明に思えてきます。

直角三角形の定規を２つ並べると、大きな直角三角形にもなりますが並べ方によっては正方形にもなります。
２種類ある三角定規のひとつは正三角形を半分にしたもので、もうひとつが正方形を２つにしたものだと考えると不思議な感じになります。