６３．２％の憂鬱（４）
「６３．２％の憂鬱（３）」からの続き。
プレゼント交換で無作為にプレゼントを交換した場合に、誰も自分のプレゼントを受け取らずにすむ場合の確率はどのくらいか。この問題を解く手がかりを得ることが出来たのは、プレゼント交換用のプレゼントを買いに行った時のことだった。
僕は、やはりプレゼントを買いに行くという天文部の部長と一緒に、少し前にできたショッピングモールを歩き回っていた。
「そういえば、何を買うかはもう決めた？」
と聞かれて、
「小さなプレートに方位磁石と温度計が付いたものがあるんだけど、あれが欲しいなと思ってる。」
と答えたら、
「自分が欲しい物を買ってどうする。」
と、言って口の右端を少し持ち上げた彼だが、自分はポケットサイズの星座早見盤を買っていた。まあ天文部らしいプレゼントといえばそうなんだが…。
「でもまあ、プレゼント交換で自分のが当たる場合もあるといえばあるか。」
そう続けたので、今回はそれは無いようにしているみたいだと説明した。
「なるほどね。まあ確かに自分のプレゼントを貰ったら交換にならないからな。」
「そういうこと。」
「だけど、自分のプレゼントを受け取らないようにしていても、自分が買ったのと同じプレゼントを受け取る場合はあるかもね。」
「どういうこと？」
不思議に思って尋ねた。
「つまり、別の人が自分と同じ物を持ってきた場合さ。」
「なるほどね。」
と感心して頷いてると、
「だから、今からでもプレゼントを星座早見盤にするんだ。」
などと言い出した。
それは無視して、当初の予定通りの物を購入した。
家に帰ってから、同じプレゼントがあった場合の組み合わせについて考えてみた。同じ物が２つあった場合に、自分の物ではないが、同じ物を受け取る可能性はどのくらいあるのかということだ。
４人で交換した場合には、１通りしかない。Ａ子とＢ子が同じプレゼントａを持ってきたとして、区別の為にａ１、ａ２とすると次のような組み合わせだけになる。
| Ａ子 | Ｂ子 | Ｃ子 | Ｄ子 |
|---|---|---|---|
| ａ２ | ａ１ | ｄ | ｃ |
「１通りということは、２人で交換した場合と同じか。」
と誰もいないのに口に出してつぶやいた。
５人の場合も考えてみたが、このときは２通り。
| Ａ子 | Ｂ子 | Ｃ子 | Ｄ子 | Ｅ子 |
|---|---|---|---|---|
| ａ２ | ａ１ | ｄ | ｅ | ｃ |
| ｅ | ｃ | ｄ |
これは３人で交換した場合と同じ。Ａ子とＢ子で交換して、残りの３人で交換しているのだからまあ当たり前だ。
「そうか、これを使えば場合分けできるかも。」
これも独り言。Ａ子とＢ子のプレゼントを交換した場合に、残りの３人で交換という考え方はもともとのプレゼント交換の場合にも使えるかもというのを思いついたのだ。
Ａ子とＢ子のプレゼントを交換した場合に２通りになるというのは同じでこうなる。
| Ａ子 | Ｂ子 | Ｃ子 | Ｄ子 | Ｅ子 |
|---|---|---|---|---|
| ｂ | ａ | ｄ | ｅ | ｃ |
| ｅ | ｃ | ｄ |
他の組み合わせとして、最初がｂで２番目をａでなく別のものにした場合を考えてみる。
まずは２番目がｃの場合は、以下の３通り。
| Ａ子 | Ｂ子 | Ｃ子 | Ｄ子 | Ｅ子 |
|---|---|---|---|---|
| ｂ | ｃ | ａ | ｅ | ｄ |
| ｄ | ｅ | ａ | ||
| ｅ | ａ | ｄ |
ｄの場合やｅの場合でも、それぞれ３通りなので３×３で９通り。
「９通りというのは４人で交換した場合と同じだけど、偶然なのか。それとも。」
最初にｂがあるという条件なので、残りの４人だからかと思ったけどｂでなくａを使った組み合わせだというのが、通常の４人の場合とは違う。
「いや、同じか。２番目がａの場合は別に考えているので、２番目にａはこない。だからｂを使った場合と同じなんだ。」
つまり、ａ、ｃ、ｄ、ｅの４つを使った組み合わせで、ａがＢ子のところにはこないようにした場合の組み合わせなので、これはａがＢ子のプレゼントだった場合の組み合わせと同じと考えることができる。
考えを紙に書いてまとめてみた。
５人でプレゼントを交換した場合に。
- 最初がｂで２番目がａの場合は２通りで、３人で交換した場合と同じ。
- 最初がｂで２番目がｃ、ｄ、ｅの場合は９通りで、４人で交換した場合と同じ。
- 最初がｃ、ｄ、ｅの場合も同じ
それが何通りかという計算はこうなる。
（２＋９）×４＝４４
つまり４４通りの組み合わせで自分のプレゼントを受け取らない。
「これは一般化できそうだ。」
５人の場合の組み合わせを、３人の場合と４人の場合から計算できるので、一般化するとこう。
ｎ人の場合の組み合わせをＰ（ｎ）とすると、
Ｐ（ｎ）＝（（Ｐ（ｎ−１）×Ｐ（ｎ−２））×（ｎ−１））
とすれば良さそうだ。でもこれが正しいかどうか。
「他の人数の場合でやってみよう。まずは４人。」
４人の場合の組み合わせが９通りというのはもうわかっているので、それを使って検算しようと思った。
４人の場合の計算には３人の場合の２通りと、２人の場合の１通りを使えばいい。
（２＋１）×（４−１）＝９
９通りになる。これはいけそうだ。
「あっ、そうか。」
ここで、少し前の風呂上りに父親の言っていたことを思い出した。４人の場合に９通りなのは３×３が９だからとかいうものだ。あれは、このことを言っていたんだろうか。あの時は全く注意して聞いていなかったのが悔やまれた。
３人の場合でも一応確かめてみた。２人だと１通り、１人だと０通りだから、
（１＋０）×（３−１）＝２
２通りで、これも成立する。
あとは、もっと大きな数の場合だが、これを確かめるのは面倒そうだ。でも、とりあえず何通りになるのかを計算してみることにした。計算も電卓だと少し手間どりそうだったので、表計算ソフトを使ってみた。ついでに、自分のプレゼントを受け取らないという条件をはずした場合の組み合わせについても表示させた。これは階乗を計算するだけなので簡単だ。
両者の比率を計算することで、自分のプレゼントを受け取らないでうまく配れる場合の全体に対する割合を計算することもできる。これでやっと答えが出せる。
「これは、これは。」
パソコンの画面を見ながら、僕は思わず感嘆の声を上げた。
（「６３．２％の憂鬱（５）」につづく）
