微小のΔｘ

http://kyoko-np.net/2008090501.htmlにある『「２と１は等しい」　数学界で論議』のように、数学的に見ておかしなことを証明するやり方があります。結果がおかしいのだから、どこかに数学的な間違いが隠されているはずです。リンク先の証明ではａとｂが等しいとしておきながらａ−ｂで割る操作をしています。ａ−ｂは０なので、０で割るというやっていはいけないことをしています。


０で割るというのは、数学的に出来ないことになっていますが、微分を求める場合にはやっています。厳密にはΔｘを０に限りなく近づけた場合のΔｙ／Δｘを求めていて、Δｘ＝０ではありません。

微分と同様な方法を使って、２と１が等しいことを証明してみます。

ａ　＝　ｂ＋Δｘ
ａ２　＝　ａ（ｂ＋Δｘ）
ａ２−ｂ２　＝　ａ（ｂ＋Δｘ）−ｂ２
（ａ＋ｂ）（ａ−ｂ）　＝　ｂ（ａ−ｂ）＋ａΔｘ
ａ＋ｂ　＝　ｂ＋Δｘａ／（ａ−ｂ）
ｂ＋Δｘ＋ｂ　＝　ｂ＋Δｘａ／（ａ−ｂ）
２ｂ＋Δｘ　＝　ｂ＋Δｘａ／（ａ−ｂ）
Δｘ→０から、Δｘを含む項を除くと
２ｂ　＝　ｂ
２　＝　１


この証明の場合はａ≠ｂなので、０で割ることは行っていません。微分と同様に、０に近い微小のΔｘで割っているだけです。微分を認めるならば、この証明も正しいのではないでしょうか。

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ポイント送信手数料の計算誤差

はてな義援金のポイント送信の手数料に関して。

ポイント送信時の手数料について
コメント欄にてご要望頂きましたポイント送信時の5%の手数料についてですが、システムの制約上、手数料は無くすことができません。システムでの対応は難しいですが、5%のポイント送信手数料についてはそのまま同額をはてなにて上乗せし、寄付したいと思います。

http://d.hatena.ne.jp/hatenacontrib/20041024


そのまま同額というのは正確ではなく、誤差を含む計算方法が使われています。
現在のやり方は、集まった総ポイント数の５％にあたるポイントを送信手数料としています。
実際に送信する場合の手数料も基本的には５％ですが、ポイント未満が１に満たない場合には切り上げになるため最高で１００％にまで変化します。１ポイント送信時の手数料が１ポイントで、このときが最大の割合になります。


この違いによって発生する差について、具体例を挙げて説明してみます。


１．４０ポイントを１度に送信した場合
送信手数料は４０×０．０５で、２ポイントとなります。手数料込みで４２ポイントが送信されています。
この場合は４２ポイントが義援金として寄付されます。


２．２１回に分けて送信した場合
手数料込みで４２ポイントを送信する別のやりかたとして、１ポイントを２１回送信する場合を考えます。１ポイント送信で、手数料も１ポイント。２×２１で、合計４２ポイントを送信するのは１．と同じです。
しかし、送られてきたポイントは２１ポイントで、この５％は約１ポイントになります。
この場合は、２１ポイントが義援金として寄付されます。


つまり２．の場合では、手数料込みで４２ポイントを送信したのは１．と同じであるものの、義援金として寄付される額は２２ポイントなので、２０ポイントの差が生じています。

ポイント送信時の手数料が、５％以下になることもあります。手数料が１ポイント以上の場合は、小数点以下が切り捨てになるからです。３９ポイントを送信する場合の手数料は１ポイントで、これは約２．５６％です。
割合として見ると違いますが、どちらも１ポイント以下の丸めによるもので、差の最大値は０．９５ポイントです。

つまり１回の送信あたり、５％で計算したものと最大±０．９５ポイントの差が出る場合があるというわけです。

総ポイント数に対して５％を計算するのではなく、各ポイント送信に対して手数料を計算して合計すれば誤差は生じません。