有限循環小数
小数を分類すると以下のようになります。
有限小数というのは、桁数が有限で終りがあるもので、無限小数はどこまでも続いて終りがありません。無限小数は循環小数と非循環小数に分けることができ、同じ数の並びが繰り返されるのが循環小数です。循環小数は分数の形でも表すことができます。
非循環小数は、部分的に繰り返しがでることもありますが全体としては同じ並びが繰り返すことがありません。√２やπなどは非循環小数ですが、こんな風に記号を使って表記することの出来る場合ばかりではなく、できない数の方が多いです。
タイトルの有限循環小数は、有限回だけ同じ数の並びが繰り返される小数のことを表す為に、勝手に命名しました。通常の循環小数は同じ数の並びが無限に繰り返しますが、これを有限にしたらどうなるんだろうかということから思いつきました。つまり通常の循環小数は繰り返しが無限にある無限循環小数で、それに対して繰り返しが有限のものが有限循環小数になるということです。有限循環小数は、有限小数の場合と無限小数の場合が考えられます。
まず有限小数の有限循環小数について。これは簡単。
- ０．２２２２
- ０．４５４５４５
- １．３７９５７９５
これらの数が有限小数の有限循環小数です。２が４回とか４５が３回、７９５が２回といった感じで有限の回数だけ数の並びが繰り返されています。
次に無限小数の有限循環小数について。これは少し難しいと思います。有限小数の有限循環小数から桁数を伸ばしてゆくことで説明します。
- ０．７７４７７４７７４
これは７７４が３回繰り返す有限循環小数です。この３回をどんどん大きくしていくと、無限循環小数、つまり通常の循環小数になります。
- ０．７７４７７４７７４…
有限循環小数は繰り返す回数は有限なので、繰り返される数の並びを大きくしていくことで無限小数にします。
- ０．７７４７７４７７４
- ０．７７４３７７４３７７４３
- ０．７７４３８７７４３８７７４３８
- ０．７７４３８４７７４３８４７７４３８４
- ０．７７４３８４１７７４３８４１７７４３８４１
こんな感じで、繰り返す回数は３回のままで繰り返される数を増やすわけです。
最終的には、
- ０．７７４３８４１…７７４３８４１…７７４３８４１…
奇数偶数
自然数の数列を並べ替えて、ある数が出てこないようにする出来るんだろうかなどということを考えてみました。http://materia.jp/blog/20080722.html#p03の「prima materia - diary 無理数、超越数、完全数」やhttp://blog.livedoor.jp/dankogai/archives/51084416.htmlの「404 Blog Not FoundMath - π vs. ナベアツ」あたりがきっかけといえばそうかも。
- １、２、３、４、５、６、７、８、９、１０、１１、１２、１３、…
このように自然数を小さな方から順番に並べた場合に、どんな大きな数であってもいつかは登場することは自明といってもいいでしょう。
- １、３、５、７、９、１１、１３、１５、１７、…
これは奇数の自然数を小さな方から並べた場合です。この場合は偶数はどこまでいっても登場しません。
- １、３、５、７、９、１１、１３、１５、１７、…、２、４、６、８、１０、１２、１４…
これならばどうでしょう。奇数の後に偶数を並べてみました。これなら偶数も存在します。では、どこまでいったら偶数が登場するでしょうか。
奇数の列だけでも無限に存在するので、どこまで行っても偶数が登場することは無いと考えることも出来ます。でも並べている数の個数は、最初の自然数を小さい順に並べた場合と同じです。もし自然数をまず奇数そして偶数の順に並べた場合に偶数がどこまで行っても登場することが無いとするならば、自然数を小さな順に並べた場合にも登場することの無い数があるのでしょうか。
