数列都市

\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots
これを２つに分けてみます。
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\cdots
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)}=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\cdots
見ての通り、偶数と奇数です。それぞれの数列の和は無限でしょうか有限でしょうか。
まあ、２つを足したものは無限なので、少なくともどちらかは無限であることは確実で、さらにどちらかが有限というのも考えにくいので、多分両方とも無限でしょう。
もう少し、きちんと考えると下のようになります。偶数のほうは２個、６個そして１８個とまとめていったものがそれぞれ \frac{1}{3} よりも大きくなります。奇数の場合は１個、３個そして９個とまとめていきます。
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k}=\frac{1}{2}+\underbrace{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)}_{\text{2}}+\underbrace{\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{10}+\cdots+\frac{1}{18}\right)}_{\text{6}}+\cdots
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{(2k-1)}=1+\frac{1}{3}+\underbrace{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\right)}_{\text{3}}+\underbrace{\left(\frac{1}{11}+\frac{1}{13}+\cdots+\frac{1}{27}\right)}_{\text{9}}+\cdots
ところで、この２つの数列はどちらが大きいでしょうか。どちらも無限大に発散するのですが、各項の差を考えると奇数の方が大きいように見えます。それがどのくらい大きいのかは少し考えてみましたがわかりません。


次は２の冪乗分の１の数列です。これは有限の値に収束します。
\large \begin{eqnarray}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots\\&=&1\end{eqnarray}
２以上の自然数について考えると、３の冪乗なら \frac{1}{2} に収束、４なら \frac{1}{3} で、ｎの冪乗の場合は \frac{1}{(n-1)}に収束するようです。
では、２よりも小さい数ではどうでしょう。１の場合は無限大に発散しますが、１よりも少し大きい場合はどうでしょう。
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{1.5^k}=\frac{1}{1.5}+\frac{1}{1.5^2}+\frac{1}{1.5^3}+\frac{1}{1.5^4}+\cdots
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{1.1^k}=\frac{1}{1.1}+\frac{1}{1.1^2}+\frac{1}{1.1^3}+\frac{1}{1.1^4}+\cdots
これもなんとなく有限の値に収束しそうな感じです。では、いったいいくつに収束するのかを考えて見ます。小数だとわかりにくいので整数の分数にしてみました。
\large \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^k=\frac{2}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{2}{3}\right)^3+\left(\frac{2}{3}\right)^4+\cdots
\large \sum_{k=1}^\infty\left(\frac{10}{11}\right)^k=\frac{10}{11}+\left(\frac{10}{11}\right)^2+\left(\frac{10}{11}\right)^3+\left(\frac{10}{11}\right)^4+\cdots
そうすると、\frac{2}{3} の場合は２に収束、\frac{10}{11} の場合は１０に収束することがわかります。\frac{n}{(n+1)} の場合はｎに収束するということでしょうか。

次に考えるのは下の数列です。
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}+\cdots
これも案外簡単に出来ました。２倍にして引いてやればいいわけです。
\large \begin{eqnarray}2\left(\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k}\right)-\sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k}&=&1+ \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\\&=&1+1\\&=&2\end{eqnarray}
他の考え方として、こんなのもあります。
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}を右にずらしながら足して行くものです。
まず表記の都合で
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=Sとします。
右にずらしながら足すのは２分の１にしながら足すのと同じなので次のようになります。
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k}=S+\frac{S}{2}+\frac{S}{2^2}+\frac{S}{2^3}+\cdots
\large S=1なので
\large \sum_{k=1}^\infty\frac{k}{2^k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots
となり、答えは２というやり方です。