無限小数

０．９９９９９…＝１
を説明するのに三進数を使うやり方があります。分数を使うのと同じような気もしますが、普段使っている十進数と違う進数を使うことで、無限小数が表記の問題にすぎないことが実感できるかもしれません。
しかし、三進数でも同じような問題はあるし、別の問題も出てきます。下の式は三進数表記の場合の０．９９９９９…＝１と同様の問題です。
０．２２２２２…＝１
三進数の場合は１を２で割った場合に、割り切れずに０．１１１１…となります。それを２倍すると０．２２２２…になり、１を２で割って２をかけたので１に戻るはずです。十進数で０．９９９９９…＝１が成り立つように、三進数で０．２２２２２…＝１が成り立つのに何の不思議も無いはずです。

下の式は左辺が三進数、右辺が十進数で表記してあります。
０．２　　＝０．６６６６６６…
０．０２　＝０．２２２２２２…
０．００２＝０．０７４０７４…

なのでこうなります。

０．２　　＝０．６６６６６６…
０．２２　＝０．８８８８８８…
０．２２２＝０．９６２９６２…

それはこういうことを意味しています。
０．２　　≠０．９
０．２２　≠０．９９
０．２２２≠０．９９９

しかしながら、どちらも無限に桁を増やすと１になるので以下の式は成り立つはずです。繰り返しますが、左辺が三進数で右辺が十進数です。
０．２２２…＝０．９９９…

有限の桁数では成り立たないのに、無限の桁数では成り立つというのはなんか不思議な気がします。

二進数でもやってみましょう。以下は、左辺が二進数で右辺が十進数です。
０．１　　＝０．５
０．０１　＝０．２５
０．００１＝０．１２５
であるから

０．１　　＝０．５
０．１１　＝０．７５
０．１１１＝０．８７５
となり

０．１　　≠０．９
０．１１　≠０．９９
０．１１１≠０．９９９
にもかかわらず

０．１１１…＝０．９９９…
となるわけです。

以前に書いた関連ありそうなものへのリンク
可能自然数・実自然数
１０進数
極限値