７の場合

人力検索はてなの質問でhttp://q.hatena.ne.jp/1212415938の『「３の倍数と３の付く数字の時だけアホになります」という男がいたとして、１から10^n（10のn乗）まで数字を数えた場合、アホになった回数Aを求める数式を一般化して示すことはできますか。- 人力検索はてな』というのがあります。
そのブックマークコメントから。

[2008-06-02][掲示板][学術・文化]ところで、問題文の「３」を「m(ただしmは2以上9以下の整数)」と置き換えた場合、Aはn及びmで表せるものなのでしょうか。

http://b.hatena.ne.jp/sankei_antenna/20080604#bookmark-8831658

少し考えたところ、出来るものもあれば出来ないものもありそうです。

９の場合は、３と同様に考えることができます。これは１０を３で割った余りが１であるのと同様に１０を９で割った余りも１だからです。
２と５の場合は下一桁だけで割り切れるかが判明するのでこれも簡単そう。４の場合は下二桁、８の場合は下三桁がわかればいいので、それ以上の桁ならば一般化できそう。
６の場合は、３と２の場合を組み合わせれば可能。
問題は７の場合です。７で割り切れるかどうかを簡単に判別する方法はどうも無いようです。だから７の倍数と７の付く数字の時だけアホになるというのは、かなり難しいのではないでしょうか。

別の方向で問題を拡張することも出来そうです。３はそのままで、表記の方法を十進法から別の進法*1に変える方法です。この場合も、比較的簡単に一般化できる進法と難しい進法がありそうです。

*1:３が出てくる為には少なくとも四進法以上でないといけませんが。