自然の中のｅ（３）

隠れていたｅ

表の下のあたりの差の値がなんか同じだなとまず思ったのは、２７１８２８という数字のならびが、桁をずらしながらも共通していたからだ。

x	(x/(x-1))^x	((x+1)/x)^x	差
10	2.867971991	2.59374246	0.274229531
11	2.853116706	2.604199012	0.248917694
12	2.840944377	2.61303529	0.227909086
13	2.830788231	2.620600888	0.210187343
14	2.822185572	2.627151556	0.195034015
15	2.814805239	2.632878718	0.181926521
16	2.808403966	2.637928497	0.170475468
17	2.802799028	2.642414375	0.160384653
18	2.797850515	2.646425821	0.151424694
19	2.793449478	2.650034327	0.143415151
20	2.789509818	2.653297705	0.136212112
50	2.745972701	2.691588029	0.054384672
100	2.731999026	2.704813829	0.027185197
500	2.721005103	2.715568521	0.005436583
1000	2.719642216	2.716923932	0.002718284
10000	2.718417755	2.718145927	0.000271828
100000	2.71829542	2.718268237	0.0000271828
1000000	2.718283188	2.718280469	0.0000027185
10000000	2.718281966	2.718281694	0.0000002716

と、これはｅの値と同じだというのにも気がついた。いったいどういうことだろう。

ｘの値が１０倍にると、差の値が約１０分の１になっているので、なにか関連がありそうだ。
ｘが１０の場合でも、０．２７４２２…となっている。やはり何かある。とはいえそれはｘが１０の倍数のどきだけで、他の値の場合はｅとは関係なさそう。

でも、ないか。

ｘをかければいいんだ。ｘが１０の時は差が０．２７４２２…だから１０倍して２．７４２２…。１１の場合は、差の０．２４８９１…に１１をかけると２．７３８０…となる。２０だと０．１３６２１…×２０＝２．７２４２…か。
式にすればこうか。
$x\left({{\left(\frac{x}{\left(x-1\right)}\right)}^x}-{{\left(\frac{\left(x+1\right)}{x}\right)}^x}\right)$
計算した結果をグラフにして確認すると、これもｘの値が大きくなるにつれてｅの値に近づいている。

目盛を拡大してみると、値が変動している。
これはダメかもしれないといったんは思ったが、表計算ソフトの計算精度のせいかもしれないと思い直した。

この、２つの式の差から求めた値がｅに収束するかどうかはわからないのだけど、もし収束するとしたら不思議な感じだ。２つの式のひとつは上から、もうひとつは下からｅの値に近づいていく。その両者に囲まれた差の部分はｘの値が大きくなるほど小さくなっていき、０に収束する。しかし、小さくなった差の値にｘをかけた値は、ほぼ一定でこれもまたｅに近づいていく。
ｅを目指す２つの曲線。その間に挟まれた部分からも、ｅが出てきてしまう。どうにも不思議だ。

（おわり）