虚数の実数乗
昨日の続きのような話で、虚数の実数乗について考えてみます。
虚数iを2乗すると−1になります。3乗なら−i、4乗なら1で5乗するとiとなってもとに戻ります。
そういったことから想像すると、
のxの値を変えた場合には原点を中心として半径1の円周上をぐるぐる回るのではないかと思いました。
は√iだから、
となって、これも円周上の点です。
を使うとiの実数乗が半径1の円周上をぐるぐる回ることが証明できます。
これは、
のxに係数π/2を加えたものです。
とおけば、
となります。
だったらe^ixの代わりにi^xを使うようにしてもいいような気がします。
というオイラーの等式も、
のようにすればeとπが不要になります。しかしこれだとシンプルすぎてありがたみが薄くなってしまうかも。
さらに簡略にしてiも使わずにすます方法も思いついたのですが、それはまた明日。