無限に関する疑問

「人力検索はてな」の質問に答えた結果、ポイントが集まったので、こんどは質問をする予定。
「はてなダイアリー」では使える数式や記号の入力が、「人力検索はてな」では使えないみたいです。

質問しました。
http://www.hatena.ne.jp/1130932358

無限に関する質問です。まず、自然数の集まりなどを表す無限を $\aleph_0$ （アレフゼロ）、無理数の集まりなどを表す無限を $\aleph_1$ （アレフワン）とすると、この両者に次のような関係が成り立ちます。
$2^{\aleph_0}=\aleph_1$
これについては問題ないと思えるのですが、以下のような疑問があります。

１．上の式を変形した、 $\\Log_2 \aleph_1=\aleph_0$ は成り立つのか？　成り立たない場合は、 $\\Log_2 \aleph_1$ はいくつになるのか？
２． $\\Log_2 \aleph_0$ はいくつになるのか？
３． $\aleph_0$ を２進数で表記した場合に桁数はいくつになるのか？

補足説明

$\aleph_0$ というのは、無限のうちでは最も小さい無限とされています。そうすると $\\Log_2 \aleph_0$ が、 $\aleph_0$ よりも小さい、正確には濃度の薄い無限になるということは無いはずです。
しかし、 $\aleph_0$ を２進数で表記した場合の桁数が、有限ということは無さそうだから無限の桁数とすると、少なくとも $\aleph_0$ 桁になり、それで表すことの出来る数の種類は $2^{\aleph_0}$ です。これは $\aleph_1$ になってしまいます。
$2^x$ = $\aleph_0$ を満たすxを求めればいいのでしょうが、その結果は $\\Log_2 \aleph_0$ になりそうな気がします。この $\\Log_2 \aleph_0$ はいくつなのか？　 $\aleph_0$ と考えても、 $\aleph_0$ よりも濃度の薄い無限と考えても矛盾があります。もちろん有限と考えても同様です。さて、 $\\Log_2 \aleph_0$ はいくつなのでしょうか？