孤独な７の判別式一般化

昨日の続きで、３桁だけでなくもっと多い桁でも判別式が成立することについて少し考えてみました。
１００の位の作業を考えます。
１００ａ−４４ａ−３７ａ−９ａ＝１０ａ

引いている４４、３７、９は１００から７の倍数を引いた数です。
それをふまえて以下のように変形します。
１００ａ−（１００−７＊８）ａ−（１００−７＊９）ａ−（１００−７＊１３）ａ＝１０ａ

これは１０００の位でも同じように可能です。と思ったら、そもそも１０の位の場合を１０倍すれば１００の位で成り立つことに今更ながら気が付きました。
つまりこういうことです。

１０ｂ−３ｂ−３ｂ−３ｂ＝ｂ
両辺を１０倍します。
１００ｂ−３０ｂ−３０ｂ−３０ｂ＝１０ｂ
この式も当然ながら成り立つので１００の位でも成り立ちます。簡単ですね。昨日いろいろ試行錯誤して考えたのがバカみたいです。
さらに１０倍すれば
１０００ｂ−３００ｂ−３００ｂ−３００ｂ＝１００ｂ
となり、これは１０００の位でも成立するということです。

以下同様に、両辺を１０倍していけば上の桁で成立することが確認できます。等式の両辺に同じ数を掛けた場合に、等式が成立するのは明らかなので、任意の桁で判別式が成立することが説明できました。

わかってしまえばわりと簡単でした。

（３日追記）
別の説明を追加。

１００ａ＋１０ｂ＋ｃ
が７の倍数であるならば−２を掛けた物も７の倍数
−２００ａ−２０ｂ−２ｃ
それに７の倍数である２１ｂと２１０aを足す
１０ａ＋ｂ−２ｃ
が求まる

この方がシンプルですね。

（追記続き）
http://q.hatena.ne.jp/1220144451の人力検索に17で割り切れるがどうかの判定法についての質問がありました。
少し考えたら7の場合の判定法が応用できることがわかったので回答しました。
7の場合に21が7の倍数であることを利用しているのと同様に、51が17の倍数であることを利用しています。