9.999…=10?

http://d.hatena.ne.jp/i_kumagoro/20060719/1153275172に書かれていた、http://d.hatena.ne.jp/ROYGB/20060714への反論を読んで考えたことです。


\large\begin{eqnarray}-9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}&=&-9+9\times \frac{1}{1-\frac{1}{10}}\\-9+9\times \frac{1}{0.9}&=&-9+9\times \frac{1}{\frac{9}{10}}\\-9+9\times 1.111\cdots&=&-9+9\times \frac{10}{9}\\-9+9.999\cdots&=&-9+10\\0.999\cdots&=&1\\\end{eqnarray}


こうすると同じ式を変形していった結果として0.999…=1が導き出せそうです。しかし、それなら次の式でもいいはずです。


\large\begin{eqnarray}3\times\frac{1}{3}&=&3\times\frac{1}{3}\\3\times0.333\cdots&=&\frac{3}{3}\\0.999\cdots&=&1\\\end{eqnarray}


ただ、これで納得できるなら0.999…と1が等しいかどうかの疑問は出てこないでしょう。その疑問が出てきた場合は、数式をつかって説得するのは無理かもしれません。